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数学不是主观的也不是客观的

谢选骏:数学不是主观的也不是客观的
   
   《数学的真相:物理时空的数字模型还是现实本身?》(BBC 2019年11月22日)报道:
   
   见过海王星(Neptune)吗?它是太阳系的九大行星之一,站在地球上仰望,它就是夜空中一个白点,远不如离地球较近的水星、火星那么晶亮、耀眼。海王星的发现很大程度上归功于数学——科学家先算出它的可能方位,然后才用天文望远镜找到它。这个发现被载入科学史册,被赋予的意义中有一条:这是一个证据,证明了数学并非人类的发明创造,而是客观存在。

   
   19世纪的天文学家发现海王星,是先算出那个地方可能有一颗行星,然后用天文望远镜使劲找,最后才找到的数学很抽象,除了数字就是符号,还有它们组成的方程式和定律
   
   天王星的伙伴
   
   牛顿的万有引力理论在19世纪被用来计算太阳系行星绕太阳公转的轨道,基本上没什么偏差,除了天王星。
   
   天王星是那时已知行星中离太阳最远的一颗;它的运行轨道似乎总是偏离根据万有引力定律推算的结果。当时有些学者猜测,也许万有引力定律对如此遥远的星球可能不适用。
   
   另外有些科学家则求助于数学,通过计算,推测天王星附近存在一团体量巨大的物质,导致它绕日公转轨道出现偏离。
   
   伦敦大学学院天文物理学家鲁西·格林(Lucie Green)解释说,他们通过计算结果推测这团神秘物质可能在什么方位,然后把望远镜盯住那个地方,结果就发现了这颗后来命名为海王星的第九大行星。
   
   本来,天王星、海王星的故事到此可以告一段落。但编写历史的人把海王星跟数学这么一关联,问题就来了。
   
   数学究竟是人们发明出来、用以表述现实物理时空的抽象模型呢,还是它本身就是一种现实存在?听起来像哲学问题,实际上也确实是哲学家千百年来一直在琢磨的问题。而且,对这个问题即使到了今天仍没有共识,意见分歧极深。
   
   我们试着来啃一下这道千年难题。数学始于人类生存活动的需要:计数和丈量。
   
   以蛋糕为例。数学家们对蛋糕有各种说法:尺寸、重量、形状、怎么切割。所有这些都是具像、可见的。数学还可以把我们带到抽象的领域:如果你吃了三分之一的蛋糕,那么剩下的就是三分之二,两块。把这两块吃了,就没了。
   
   数学家贝娄斯(Alex Bellos)说,古人用数字运算、丈量时,还没有负数的概念。如果现实意味着有形有体的物件,可以计数、量尺寸和重量,那么比零更小的概念是很难想象的。一只蛋糕,吃完了就吃完了,没有“负三分之一”块蛋糕之说。
   
   负债和负数——不过,在黑与白中间的灰色地带,负数这个概念和自然,完全能够被人理解的,那就是钱。钱这个东西,你可以有,也可以欠。负数最初的应用是从债务和记账开始的。你欠别人5块钱,我给了你5块让你还给别人,你手里剩下零。这就是负数现实的起源。
   
   然后事情就一发不可收拾,到今天人们已经无法想像不存在负数的世界。故事还没完。上面这些都根植于现实世界,但负数似乎自带魔力,能让不可思议的事发生。
   
   巨大的谜——两个负数相乘,得到的结果是正数,负负得正:(-1) X (-1) = 1。就这么简单的一个定律,牵出了一个实实在在的、巨大的谜。贝娄斯解释说,如果在数学等式里摆弄负数和正数,会看到一个数的平方,即一个数乘以自己,等于-1;那么-1的平方根就是这个数,但这怎么可能?数学家贝娄斯说,这个数不可能是正数,也不可能是负数,因为负负得正。
   
   于是,偶然发现这个谜的人们陷入困惑。这太荒诞了。后来,数学家们逐渐开始意识到,这确实不寻常,但实际应用中却能推导出正确答案。所以,这个谜就留给哲学家们去绞脑汁吧。我们数学家只要数字,只要答案。这时,一扇从现实通向非现实的门悄悄打开了。
   
   虚数、实数、复数——当然,全部扔给哲学家去解释是不可能的;数学仍旧可以用来解释这个现象。-1的平方根有一个名字,叫做“虚数”(imaginary number)。贝娄斯说,这个名字不是很好听,因为数学本身是真实的,但“虚”却给人不真实的印象。但其实数学从一开始就是虚的,是抽象的。比如三块蛋糕,我们看见的是蛋糕,而“三”则是个抽象概念。
   
   叁、三、3,无论是字还是数字,都是一个数的符号,而这个数是个抽象的概念 虚数也一样,看起来很荒诞,但仔细琢磨,就会发现它很符合逻辑。贝娄斯解释说,我们所说的实数,加上虚数,还有复数,共同构成了一种逻辑语言,能够用来完美诠释许多现象,比如循环旋转。他说:“今天,-1的平方根在我们看来就和-1一样真实,即使它对于我们来说很难理解,就像-1这个数对我们的老祖宗来说无法理喻一样。”
   
   再接再厉——现在轮到复数(complex number) 。有些用实数无解的方程式,用复数就可以解答。它们就是那么魔性,对我们理解现实提供了实际帮助,几乎所有涉及循环旋转和波浪的数学题离不开复数这个工具。复数在电机工程、雷达、医疗影像领域不可或缺,对解释次原子粒子的行为也至关重要。
   
   那么问题又来了:为什么只存在于数学假设中的东西,在现实世界用途如此之大呢?匈牙利20世纪物理学家尤金·维格纳(Eugene Wigner)认为这就是个奇迹。还有不少人跟他看法一致。维格纳1960年发表了一篇重要论文,其中把复数叫做“数学在物理科学中不合理的有效性”(unreasonable effectiveness)。
   
   不合理有效性——如果数学是人类发明设计出来,用作表述现实的工具,那么它具有这种功能难道不是合情合理,完全符合逻辑吗?有什么“不合理”的呢?
   
   这个问题或许要找数学、物理两栖的专家来解释,比如埃莉诺·诺克斯(Eleanor Knox);她的专业领域是物理中的哲学。她说,确实,如果发明数学是为了帮助我们理解物理系统,那么它胜任这个任务完全合乎逻辑。但数学的演变过程似乎跟这种解释不相符。
   
   历史上不乏这样的先例:数学家纯粹出于个人兴趣做出了一些发明, 过了段时间这些发明恰好用来促成某项重大的物理学发现或突破。数学中的非欧几何(non-Euclidean geometry)就是一个著名的例子。在19世纪末的时候,许多数学家都迷上了非欧几何,就因为他们觉得这个命题非常有意思,引人入胜。
   
   当时公认整个世界都可以用欧几里德几何定律来表述,学校教的也是欧几里德,比如三角形的三个内角之和是180度。1800年代末期的数学家并不想推翻欧几里德几何学,只不过是在数学探索过程中发现了妙不可言的新的数学结构。诺克斯说,到了20世纪,爱因斯坦在广义相对论研究中发现自己需要一种新的理论用来表述相应的时空定律,而非欧几何正好满足了他的需求。换句话说,如果没有非欧几何,爱因斯坦的相对论就不会问世。但是,19世纪沉浸在非欧几何研究中的数学家很显然没有预见到多年后物理学界会出现广义相对论。
   
   诸如此类的史实难免令人产生各种联想:数学和现实世界的关系如果不是奇迹,至少称得上令人惊诧。
   
   现实本质——现代物理学不断发展,学问越来越精深,凡夫俗子如你我离其中蕴含的复杂的数学越来越远,对数学所表示的古怪现实也越来越难以理解。当然,这也不奇怪。没有任何理由认为我们凭感官接触到的日常现实就是宇宙现实之根本。真正令人惊奇的是数学可以帮助我们在人类感官无法企及的时空展开探索。
   
   接下来的问题是,在探索现实本质的过程中,数学的表述能力是不是有极限?诺克斯说,20世纪诞生了两个伟大的物理理论:量子力学和广义相对论。但是,这两大理论背后的数学架构却像一对老死不相往来的夙敌,要把两者整合起来,其复杂程度难以复加。诺克斯解释:“没有一个连贯、耦合的框架来帮助我们理解这两大理论是如何在同一个世界并存的,它们是怎样表述同一个现实本体的。”
   
   这方面的探索难度之大常人无法想像,科学实践中最基本的纽带——思想和实验之间的纽带——在这里似乎断了。这难道就是数学的极限吗?诺克斯认为,到目前为止,我们可以得出几个结论:
   ?数学仍胜任表述我们的宇宙的任务,这是我们的大幸;
   ?数学表述了宇宙的一些支离片断的部分,而不是全部;
   ?对宇宙整体加以表述超级复杂超级难;
   ?数学太复杂,我们无法承受;
   ?我们还不理解数学,但将来会逐渐懂它。
   
   巨大差别——也许我们对自己太苛刻,或者太狂妄,想让数学定律和物理定律手拉手步入同一个殿堂 - 这件事比登天还难,就因为它们是两回事。爱因斯坦曾经说过,数学定律离现实越近就越不确定;数学定律越确定,离现实就越远。诺克斯这么解释:数学有一个特点,非错即对。我用数学来验证一件事,谁都不会有疑问。但物理就不是这样。
   
   这正是数学和物理的最大区别之一。物理定律和理论经常会错。牛顿的万有引力定律很美、很高雅,而且经常是有意义的,但它们不代表全部的真理。诺克斯预言,毫无疑问,未来的科学家将能够证明爱因斯坦的理论也只是“大致正确”。
   
   发现还是发明?
   
   数学从哪里来?这个问题应该问数学家。
   
   郑乐隽(Eugenia Cheng)是芝加哥艺术学院驻校科学家,出生在英国,剑桥大学毕业。逻辑和艺术是她感兴趣的话题之一。她的专业是范畴论(Category Theory),也被称为数学的数学,研究数学王国中各个不同领域之间如何建立联系,架桥铺路。她说:“我确实感觉自己是在发现概念,然后发明思考它们的方法。我做抽象研究时,就觉得自己像在抽象的丛林里漫游、探索,然后发明一种方式来谈论它们,将它们理论化、系统化,这样我就可以梳理自己的思想并与人交流。”
   
   抽象的东西未必不真实!真实怎么定义?确实很难想象还有什么比这更抽象的工作。那么,郑乐隽研究过的那些数学家是不是跟现实有关联呢?“别人跟我提现实,我就想反问:到底什么是真实?我们称之为‘现实’的只不过是我们假设真实事物的幻象,因为我们大家都倾向于用同样的方式去看待它。人们说数字不是真实的,因为你摸不着它们。可是有许多东西是真实的现实但我摸不着,比如饥饿。”她说:“所以我更愿意谈论具体、实在的东西,我们可以摸得到、可以直接与之互动的东西;而抽象的事物,我们只能在脑子里跟它们互动。”
   
   数学是抽象的,但抽象概念也可以无比真实,跟其他真实的事物一样。现实是什么?
   
   一方面,可以说数学就是现实。比如生物学基于化学,而化学本质上服从物理学定律,这样我们就自然说到数字和数学了。再想想蔚蓝的天空,可以用折射光的波长理论来解释……那全都是数字。看来,在更深的层次上,物质的现实具有数学属性。但同时数学似乎无法解答人类生活中一些至关重要的事,比如爱情、饥饿和生命。所以,在所有这些重要的问题中,我们或许可以比较肯定地回答的只有一个,那就是关于数学究竟是表述现实的模型还是现实本身这个问题我们无法找到确切答案。

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