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陆道渊


   
   
   
   ‘庄子切棒悖论’、‘调和级数悖论’等的浅简彻底解决

   (本文用创新的‘均分形式’法浅简而彻底的解决了此两大悖论) 陆道渊
   首先,‘庄子切棒悖论’是公认未解决的最著名悖论。这悖论与现行教科书因没有与n之分等而把公共编号- -错成n→∞,进而错写成n …有关(n和的不同与和∞的不同直接有关,其原始原理请参看[3])。
   但近年来,由中科院士张景中主编的第二版《数学聊斋》[1]对‘悖论’的概念作出荒谬无理的解释,竟在其375页说【悖论不是坏东西……悖论不但有趣,而且有用】,并在他作序的《话说极限》([2])的第3页说出低劣错误的【无限段路程之和可以是有限量】(应该‘有限段路程之和是有限量’才正确---请看下面证实。)是在掩盖‘悖论’。理学界掩盖‘悖论’的概念,使之变成谁也搞不懂的‘疑难’的实例很多;但像张景中教授们这种低劣错误却是绝无仅有的。展示在下面的【1】,是[2]中‘庄子切棒悖论’产生的错误的级数式子。
   [3]之实例6对这个悖论虽已作出逻辑上的否定,但还没有给出新式子来取代解决,所以本文下面用运算推导出正确的新式子如下:
   ‘庄子切棒悖论’的表述实质意为‘任一条线段,每次切取其半,可无限次的切取’。
    要解决‘庄子切棒悖论’及其级数式子的错误,首先须知,‘无限多’的数学记号是,而表示‘有限多’,但现行教科书因没有与n之分,从而把错误的写成n …,当成无限了,这是一错;第二个错是其没有把未切取的部分算进去。
   所以,‘庄子切棒悖论’的真正解决的具体运算推导步骤须为
   设'为切的次数,则有 1/② =1/≡1,此式可称为‘庄子切棒公式’(注意,依据[3],‘总段’1不是数,表示一物质线段,所以‘庄子切棒公式’不是分数形式,即其分数线/等于除号,表示确定的线段1被均分,是均分形式);为已切取的‘积段’n的编号;还有恒未切取的‘分段’1;由于>',所以'必有限。
   庄子作为哲学家,提出了‘庄子切棒悖论’问题让人们去解决,解决了就是知识,解决不了就成了悖论;而悖论必须要解决〔‘一个命题的自我否定,即既表述为A又表述为非A’简称为‘悖论’。请特别注意,形式逻辑学的‘矛盾律’表述为‘两个互相矛盾或者互相反对的命题,不可能同时真,必有一假。’;‘悖论’与‘矛盾律’的区别的关键在‘一个命题’和‘两个命题’。也就是说‘形式逻辑学’的‘同一律’、‘矛盾律’、‘排中律’三大律合起来的总旨就是防止产生‘悖论’。
    ‘哲学’只是‘聪明的观点’而已,事实是,从古至今哲学流派众多,表明‘聪明的观点’众多,而‘辩证逻辑’仅是高级的‘哲学’;所以,人们把没有推理规则的‘辩证逻辑’当作高级的‘形式逻辑学’是错误的,会把‘非逻辑’(即悖论)诡辩为‘辩证逻辑’(‘辩证’意即‘既对立又统一’),这就使‘逻辑学’与‘哲学’混同了;事实是,‘逻辑学’是‘形式逻辑学’的简称,起始于亚里士多德,具有严格的推理规则,是理学研究的唯一推理工具。〕
   ‘庄子切棒悖论’被‘庄子切棒公式’彻底解决的道理在物理事实方面: 因未切取的‘分段’恒为1,是有长度单位的,当1的长度小于刀锋的厚度就不能切了;即使假想刀锋的厚度可任意微细,但已切取的‘分段’也恒为1,也表明必是‘有限多’,即≠。
   所以由‘庄子切棒公式’产生的数列和级数才正确,这就解决了‘庄子切棒悖论’。
   第二,千百年来百思不得其解的‘调和级数发散而其数列却收敛’(其错误式子的具体展示请看[2]之第6页)的毛病在哪?此毛病实即‘悖论’,也是现行教科书把n→∞的n当成无限,即调和级数数列的1/n不是最末项,在其后还有表示无限项的‘…’造成(注意,‘…’可用在n或n项之前表示有限的省略,如用在n或n项之后,就会表示无限而产生悖论即错误。)!
   本文解决: 已证实是不定的‘有限多’,n表示不定的‘有限大’,表示‘无限多’,∞表示‘无限大’(n和的不同与和∞的不同直接有关,其原始原理请参看[3]),所以调和级数应改正为s=1 +1/②+1/③+…+1/。上面已交代过,这1/是均分形式(用直尺、圆规均分),还不是分数形式,因为直接用分数形式或化成小数形式,有限性的就彻底混淆成了无限性的n …了;而用均分形式就可看出其长度(或称距离),不用并项也可直观看出恒有s>(1/),因为可直观看出1/是有限个点的第点到点的长度,于是每条长度是确定的且条数是有限的,从而总和长度s也随之趋微地增大而等于确定长度---即有限量;如果把不尽的取,可直观看出右(1/)恒不变,而左s→∞,但≠,故s≠∞〔现行教科书就是把→错误的当成n …后,就混淆成n ,从而1/也就混淆成1/n 随之以无限小的小数形式以0为极限收敛, 而s就混淆成sn会随之无限趋微地增大而向∞发散,从而产生令人困惑的悖论。〕
   既已证实点为‘有限多’,所以虽可任意选取,但不尽的选取是没意义的。有限选取后,才再考虑还须完全用数计算表出,这才用到分数形式的1/〔注意,另一分数形式1/n,是‘分段’1与‘积段’n之比的结果写法,即1/的1就是1/n的‘积段’n ,这也证实现行教科书把混淆成n的错误;而由本文,就写成‘分段’为1/,与‘积段’为1之比的比值是(1/):1=①/才对。〕,从而才出现了无限小数的近似〔如选取=(11)则s≈3,如选取=(200)则s≈5.8,如选取=(227)则s≈6,如选取=(1835421)则s≈15等等。还须注意,1还是‘量数’(请看[3]),带上量纲单位就成为具体的‘数量’了,就更具有限性;从而1/、s都是‘数量’。〕,于是此悖论也解决了(注意,‘总段’1必须要有长度量纲,才被彻底确定,否则‘总段’1还是无限的!)。
   为了让人看得更清晰、踏实,用实例试把上面=(1835421)的数据应用起来,就知上述不谬:如设‘总段’1为1纳米长=10^-9米(注意,10^-9本应写为10^-⑨,为简,不强改;下同。),如这1纳米长分别被①、②、…至最后=(1835421)个分点均分,这分点虽趋多但必有限即必≠, 则与各均分形式的1/相应的各分数形式分别为1/①、1/②、…、至最后的1/=1/(1835421)≈5.4×10^-16米,这与质子半径8×10^-16米相当,这虽很小但必≠0,于是其s≈1.5×10^-8米,必是有限大即必≠∞。总之必是有限多,从而1/必不收敛于0而s必不会发散趋向∞形成悖论。
   
   至于‘芝诺悖论’,对照‘庄子切棒悖论’、‘调和级数悖论’的真正解决,就可知其是芝诺冒充搞成的假悖论:
   ‘庄子切棒悖论’、‘调和级数悖论’是有产生数列的通项式的,而‘芝诺悖论’没有其通项式,因而本没有其数列,其所谓的“数列”是假的,是用特意选取的两个整数相除即100/9得到的无限循环小数11.111…,再拆成无限的数列样子,搞成了所谓“无限收敛数列”;这样一来,就产生了‘快速的阿基里斯永远追不上乌龟’的假象。连动物都知道快速的必会追上慢速的,事实是,‘芝诺悖论’的编造,其选取100/9的方程就是按‘阿基里斯追上乌龟’这条件才建立的(请看[2]的第3页),怎又会追不上;把100/9写成11.111…,就是为编造“无限收敛数列”,搞假悖论。显然,如果不把100/9写成11.111…,此题就会还原成一般正常的数学题,就可求得阿基里斯追上乌龟的确定时间和确定距离,何来“悖论”。
   这就证实了‘芝诺悖论’是假悖论并得到真正的解决。
   [2]的主题原是讲述数列和极限的,而‘芝诺悖论’和‘庄子切棒悖论’各有一串数列,所以编著者一开始就为引入这两个悖论的数列,对这两个悖论予以既虚否定又实赞美,说出了很多颠三倒四而又圆
   滑的废话,连同张景中院士极为怪异的废话(要欣赏其何等怪异,请看[2]的第4页的小字)对读者的逻辑思维都会有极为严重的毒害作用。
   所以,1/n是其最末项,不可在其后还有表示无限项的‘…’。
   有了‘总段’1,则‘罗素悖论’也即解决,因为‘总段’1不是数,而是数的集合,其元素即为自然数1、2、…、n;从而第三次数学危机才真正解决。
   下面展示[2]的‘庄子切棒悖论’所产生错误的通项式1/2n和其错误的数列、错误的两种级数式子:
   ‘庄子切棒悖论’数列为1/2 , 1/4 , …,1/2n ,… 错误在n项之后还有… ;
   【1】、sn=1/2 + 1/4 + …+1/2n+…=1 ;
   【2】、sn=(1/2)-(1/2)n+1/〔1-(1/2)〕 ;
   此两种式子错误就在没把未切的剩余部分1/2n 加进去。
    这【1】没把未切的剩余部分加进去,右边怎会=1?
   再来验算【2】,试把n=3代入,也缺剩余部分1/2n =1/8 ;补进1/8 ,才=1 !
   而本文‘庄子切棒公式’产生的正确的‘庄子切棒’通项式1/②^和其数列、级数,分别为(注意,因‘庄子切棒公式’中先用数字表示了,于是'就写成了后):
   ‘庄子切棒’数列 1/② , 1/④ , …,1/②^ ,还有未切的剩余的一段1/②^;
   ‘庄子切棒’级数 s=1/②+ 1/④ + …+2/②^=1;
   ‘庄子切棒’等比级数s=〔(1/②)-(1/②)^+①〕/〔1-(1/②)〕+(1/②)^ 。
   请大家对照。
   [2]共有四章,其错误都集中在第一、第二和第四共三章中,原因是这三章都涉及‘庄子切棒悖论’、‘调和级数悖论’、和‘芝诺悖论’。在第四章中关于‘芝诺悖论’的人云亦云错误言论,更无知而怪诞的说【十分有意思,如果初值超越极限,它还是“退回来”从反方向逼近100/9】(摘自[2]之111页),竟不知此句正是表达〖不可把100/9写成11.111…〗!
   [2]最后才哀叹【其实,计算机的出现始终伴随着一个很难解决的悖论】(摘自[2]之117页);但这样一来,其前面对悖论的赞美和错误式子严重毒害了读者的逻辑思维,怎办?!张景中院士怎会不知‘悖论’是何概念,竟说出【悖论不是坏东西……悖论不但有趣,而且有用】小孩般的话?!
   原来,说起‘悖论’,就不得不面对现在依然名声震天的都与‘悖论’紧密相关三巨头理论:康托尔的‘无穷集合论’、爱因斯坦的‘相对论’、哥德尔的‘不完备性定理’。
    1、 先说康托尔的‘无穷集合论’:其实,‘无穷集合论’由‘无穷’和‘集合’组合而成;‘集合’本身是无悖的;而‘无穷’是有悖的,因为康托尔把‘…’当作‘无穷’来代替,再用‘一一对应’的方法,并交替辗转使用‘…’代替,主观的用‘无穷的自然数集’不断构造出客观并不存在的‘超穷数集’,荒谬之至;事实是, 一切小数无论是‘有理的,无理的,或超越的’,实质上都是物理元素间或几何元素间的关系性的数,放在表达存在性的‘自然数’n的数轴上就已是错误。康托尔由于不会区别 n和,产生‘悖论’也不知道,例如他面对“整体等于其部分”还嘴硬说这正是‘无穷’的特性。事实是,康托尔的‘无穷集合论’就已产生了很多‘悖论’,也遭到很多大数学家激烈反对;但是反对代替不了否定,反对者们也都因不会区别n和 而不能解决康托尔的‘无穷集合论’; 另一方面,‘集合’本身是无悖的,在数学中又很有用;于是接受了‘集合’ 也无意中接受了‘无穷集合论’的‘悖论’。

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