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“分形”和“规范世界”

   ----超越“唯物论”和“唯心论”续篇
   2007-12
   
   “分形”和“规范世界”
   

   嚴家祺
   在上期《超越“唯物论”和“唯心论”》一文中,我提出了“规范世界”的概念。这是在“现实世界”(由“物质世界”和“观念世界”构成)以外的一个客观存在的“世界”。
    在上述文章中,我提到,五种“正多面体”、圆周率的精确值、自然对数的精确值都可视为“规范世界”中的“存在”。本文将說明形形色色的“分形”图案的“原型”,也是“规范世界”中的“存在”。
    树、闪电、三角洲
    自然界中有许多非常不同的东西,具有相同的形式或结构。树、闪电、三角洲 就是一个例子,它们都有分支点的系统的特点。松树、垂柳、白杨、山毛榉的基本形状由它们的遗传基因决定,但每一棵树的树枝如何伸展,每一树枝上何处发芽,是由种种偶然因素造成的。闪电、三角洲的形状也是由种种偶然因素造成的。如果把时间尺度放慢一万億倍,一个闪电就会象一棵树那样缓慢生长。如果把时间尺度放慢一万億倍的一万倍(或更长),那么,一个闪电过程就会象一条大河形成一个三角洲那样地缓慢。
    树、闪电、三角洲等有分支点的系统,在数学上称为“分形”(fractal)。一般的说,“分形”是指具有“自相似”特性的现象、图像或过程。图1是典型的分形“树结构”图。
   
   www.frontiermentality.org www.visualbots.com/tree_project.htm
   或从google的 “图片”上找 “fractal”、“Mandelbrot set”
   
   (图1)树结构的“分形”图案
   
   图1的特点是有无限精细的结构,每一个局部放大后与整体相似。
    在自然界中,具有“自相似”特性的事物很多,湍流、飓风、大脑皮层的褶皱、分布在肺组织中的气管和支气管等等。它们与数学上的“分形”的区别是,前者是有限的,后者是无限的。
   
   
   
   此图可在google上打“pulmonary fractal”搜索“图片”第二页可以找到
   (图2)肺组织中的“分形”结构
   
   
   “分形”图案的发现
   二十世纪数学上的一个重大成就,就是“分形”图案的发现。这一发现,与计算机的应用有关。举例來說,把一个蛋糕分成三份,要求每一个“分割点”都同三部分相邻接。严格按此要求分割蛋糕形成的图案,就是一种“分形”图案。我把这一“分形”图案称为“三邻接图”。如果从“中心点”向蛋糕边缘切三刀,蛋糕虽然分成了三部分,但只有“中心点”一个点同三部分相邻接,其余地方的“点”只同两部分相邻接。我们普通三分蛋糕的方法,不能形成“分形”图案。“三邻接图”无法凭空画出来,可用“迭代法”解一个简单的三次方程得到。在没有高速计算机的时代,一位数学家可以用笔计算,在“復数平面”求解。这
   位数学家即使计算了一万个点,也无法形成图3中的图形,因为一万个点太少了。高速
   这幅图在google上打“fractal gallery”,但
   “位置”在第3-5页,要化几分鐘时间才能找到
   (图3)一种“分形”图案:“三邻接图”
   
   计算机可以在很短的时间內显示出图3那样的图形。仔细观察这一图可以发现,图3中的每一“邻接点”处,都可以无限放大,放大后仍然是原来的图形。这正是“自相似”。
    图3所示的“三邻接图”是美国数学家哈伯德(John Hubbard)在1976年用计算机进行“迭代计算”发现的。这个图形不是“发明”的,而是“发现”的,它早存在于“规范世界”中。高速计算机就象过去的显微镜、望远镜那样,成了发现新事物的工具。
    1979年,法国数学家伯努瓦•曼德尓勃罗特(Benoit Mandelbrot)用计算机进行“迭代计算”时发现了一种非常复杂的“分形”图案,无论放大多少倍,这个图案没有任何一部分与其它部分完全相像。這是一种复杂的“自相似”。这一类图案后来被命名爲“曼德尓勃罗特集”( Mandelbrot Set)。
   
   
   
   在google上打“Mandelbrot set”即能找到
   (图4)曼德尓勃罗特集(左图黑色部分),右图是放大的一处细部,
   每一小黑点都与原形相似
   
   
   
   曼德尓勃罗特集是“復数平面”上的一个“点集”。确定某一点(即与这一点相应的復数Z)是否在曼德尓勃罗特集內的方法很简单,在“復数平面”內对“迭代公式”Z--Z•Z+C
   (这里“• ”是乘法的符号,其中C是任一常数)反复迭代,这样就会产生Z1、Z2、Z3、Z4、Z5、Z6••••••的无限系列。初始点Z1可以在“復数平面”內任意选择,如果Z1、Z2、Z3、Z4、Z5、Z6••••••收敛,那么,就可以把这个Z(即初始点)确定为曼德尓勃罗特集(图4曼德尓勃罗特集的黑色部分)內的一个点;如果Z1、Z2、Z3、Z4、Z5、Z6••••••系列发散,走向无穷大,就可以认定这个Z(即初始点)不在曼德尓勃罗特集內。这样的计算过程用纸和笔也可以进行,但计算数日、数月、数年也只能算出数十、数千、数万个点,难以看清曼德尓勃罗特集的全貌,而借助于高速计算机就很容易绘出曼德尓勃罗特集,看到它的全貌,并能无限地放大下去,看到它的曼德尓勃罗特集的精细结构。图5是若干幅曼德尓勃罗特集的精细结构。
   
   
   
   
   
   在google上打
   “mandelbrot set”,有数千幅图,请挑选
   
   
   
   
   (图5)放大不同程度的曼德尓勃罗特集的精细结构
   
   
   “发现”与“发明”的区别
   图4、图5的曼德尓勃罗特集的图形印刷在纸张上,它与曼德尓勃罗特集本身是有区别的,前者是后者的近似。前者存在于“现实世界”中,后者存在于“规范世界”中。“规范世界”中的曼德尓勃罗特集并不是人脑发挥高度想像力构思出来的,它既不在“现实世界”中存在,也不是人的思维的创造或发明。曼德尓勃罗特集和形形色色的“分形”图案,存在于“规范世界”中,通过人的思维所发现,從“规范世界”进入“观念世界”(参见上期《超越“唯物论”和“唯心论”》一文第67页〈〈“现实世界”和“规范世界”关系图〉〉)。就是在今天,曼德尓勃罗特集放大亿万倍的亿万倍的精细结构,并没有人知道,也就是說,这些放大亿万倍的亿万倍的精细结构今天并不存在于“观念世界”中,需要人们继续探索和发现。
   关于“规范世界”的理论并非哲学空谈,它是“新药研制”、“基因设计”、“生物工程”以及在人文、社会科学中用来分析“神”的观念、比较宗教、比较意识形态、“社会乌托邦主义”的理论基础。
   
   
   
   
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